رضا شرف دینی

فرض کنید {$G$} گرافی با ماتریس مجاورت {$A(G)$} باشد. در این صورت انرژی گراف {$G$}، که با {$\E(G)$} نمایش داده می شود، جمع مقدارهای تکین {$A(G)$} است. در این پایان نامه برآنیم که تغییرات انرژی گراف را وقتی یال ها حذف، تکرار یا اضافه می شوند بررسی کنیم. مثال ها نشان می دهند که همه ی حالت ها ممکن است اتفاق بیفتد: انرژی افزایش یابد، کاهش یابد یا بدون تغییر بماند. هدف ما توصیف نظری این حالت ها و ارائه ی خانواده ای نامتناهی برای هر حالت است. فرض کنید {$H$} زیر گراف القایی از {$G$} و {$G-E(H)$} زیر گرافی از {$G$} باشد که از حذف یال های {$H$} به دست می آید. نشان می دهیم که {$\E(G)-\E(H)\leq\E(G-E(H))\leq\E(G) \E(H)$} و بعلاوه (الف) اگر {$A(H)$} نامنفرد باشد، آن گاه تساوی سمت چپ برقرار است اگر وتنها اگر {$A(G)=A(H)\bigoplus A(G-H)$}، (ب) تساوی سمت راست برقرار است اگر وتنها اگر {$E(H)=\emptyset$} باشد. فرض کنید {$E$} یک مجموعه ی برشی یالی از گراف {$G$} باشد. در این صورت {$\E(G-E)\le\E(G)$} و تساوی اتفاق نمی افتد اگر یال های {$E$} تشکیل ستاره دهند. اگر {$e$} یال برشی از {$G$} باشد، آن گاه {$\E(G)-2\leq\E(G-\{e\})\leq\E(G) 2$} و بعلاوه (الف) تساوی سمت چپ برقرار است اگر و تنها اگر {$e$} یال تنهایی از {$G$} باشد، (ب) تساوی سمت راست در هیچ شرایطی اتفاق نمی افتد. یک نتیجه ی شگفت انگیز نشان می دهد که انرژی گراف کامل چند بخشی اگر یک یال جدید اضافه یا یک یال قدیمی حذف یا تکرار شود، افزایش می یابد