رضا شرف دینی

فرض کنید $G$ یک گراف و $M(G)$ ماتریسی متناظر با آن است. مجموعه ی مقادیر ویژه ی $M(G)$ را $M$-طیف گراف {$G$} می نامیم. دو گراف را $M$-هم طیف گوییم اگر دارای $M$-طیف یکسان باشند. گوییم گراف {$G$} توسط $M$-طیف آن مشخص می شود اگر هیچ گراف غیریکریخت و $M$-هم طیف با آن وجود نداشته باشد. فرض کنید $A(G)$ و $D(G)$ به ترتیب ، ماتریس مجاورت و ماتریس درجه ی $G$ باشند. ماتریس های $\mathcal{L}(G)=D(G)-A(G)$ و $Q(G)=D(G)+A(G)$ به ترتیب ، ماتریس لاپلاسی و لاپلاسی بدون علامت گراف $G$ نامیده می شوند. یک درخت را ستاره گون دوگانه گوییم اگر دقیقا دارای دو رأس با درجه ی بیش از دو باشد. به ویژه، درخت ستاره گون دوگانه ای که با اتصال $p\ge2$ رأس آویزان به یک رأس آویزان مسیر $P_n(n\ge2)$ و اتصال {$q\ge2$} رأس آویزان به رأس آویزان دیگر $P_n$ به دست می آید را با {$H_n(p,q)$} نمایش می دهیم. در این پایان نامه برآنیم تا ابتدا کران هایی برای مقادیر ویژه لاپلاسی و لاپلاسی بدون علامت گراف ها به دست آوریم. سپس ثابت می کنیم که $H_n(p,q)$ توسط طیف های لاپلاسی و لاپلاسی بدون علامت آن مشخص می شود.