رضا شرف دینی

ماتریس مجاورت $A(G)$ از گراف $G$ که درایه های آن به صورت $a_{i j}=1$ اگر $v_i v_j \in E(G)$ و در غیر این صورت $0$ تعریف می شود. فرض کنید $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{n-1} \geqslant \lambda_n$ نشان دهنده ی مقادیر ویژه ی $A(G)$ باشد. سپس $\lambda_1$ شعاع طیفی $G$ نامیده می شود. وقتی بیش از یک گراف در نظر گرفته باشد، برای ساده سازی به جای {$\lambda_i(G)$} از {$\lambda_i$} استفاده کرده ایم. انرژی مجاورت گراف $G$ به صورت زیر تعریف می شود $$ \mathcal{E}(G)=\sum_{i=1}^n\left|\lambda_i\right|. $$ فرض کنید $G=(V,E)$ یک گراف ساده از مرتبه $n$ و اندازه {$m$} با مجموعه ی رئوس \[V(G)=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\},\] باشد، بدون داشتن رئوس تنها و با دنباله درجات رأس $\Delta=d_{1}\geq d_{2}\geq \dots \geq d_{n}=\delta=0$، {$d_{i}=d_{G}(v_{i})$} اگر رئوس {$v_{i}$} و {$v_{j}$} مجاور باشند، این مطلب را به صورت {$v_{i}v_{j}\in E(G)$} یا {$i\sim j$} نمایش می دهیم. با {$TI$} یک شاخص توپولوژیک را نشان می دهیم. شاخصی که می تواند به صورت {$TI=TI(G)=\sum_{i\sim j}\mathcal{F}(d_{i},d_{j})$} نمایش داده شود، {$\mathcal{F}$} تابعی است که به صورت مناسب با خصوصیت {$\mathcal{F}(x,y)=\mathcal{F}(y,x)$} انتخاب شده است. ماتریس مجاورت تعمیم یافته {$A=(a_{ij})$} از {$G$} به صورت {$a_{ij}=\mathcal{F}(d_{i}, d_{j})$} تعریف می شود به طوری که {$a_{ij}=1$} اگر رئوس {$v_{i}$} و $v_{j}$ مجاور باشند و در غیر این صورت {$a_{ij}=0$}. فرض کنید {$f_{i}$}، {$i=1,2,3,... ,n$}، مقادیر ویژه ی {$A$} باشند. انرژی ماتریس مجاورت تعمیم یافته ی {$A$} به صورت {$\mathcal{E}_{TI}=\mathcal{E}_{TI}(G)=\sum_{i=1}^n |f_{i}|$} تعریف می شود. در این پایان نامه، ابتدا انرژی مجاورت گراف ها را مطالعه می کنیم و کران هایی برای آن بر حسب پایاهای گراف مانند تعداد رئوس، تعداد یال ها، حداکثر درجه و شاخص های زاگرب ارائه می کنیم. سپس، کران های بالا و پایین از {$\mathcal{E}_{TI}$} به دست می آید. با استفاده از رویکرد حاضر تعداد زیادی ازنتایج ایجاد شده قبلی را می توان به عنوان موارد خاص به دست آورد.