سعید کریمی جعفر بیگلو

بسیاری از مسائل مهم و کاربردی در علوم و مهندسی منجر به حل دستگاه های خطی و بزرگ از نوع نقطه زینی می شوند. غیر معین بودن و خواص طیفی ضعیف چنین دستگاه هایی، حل عددی این مسائل را تبدیل به چالشی بزرگ و مهیج برای افرادی که در این حیطه فعالیت دارند، نموده است. از آنجایی که در مسائل کاربردی دستگاه معادلات نقطه زینی دارای ماتریس ضرایب بزرگ و تُنُک می باشند، حل این گونه دستگاه ها با استفاده از روش های مستقیم با هزینه های زیادی همراه است و حتی گاهی اوقات غیر ممکن می باشد. لذا از روش های تکراری برای حل آنها استفاده می شود. یکی از مشکلات اساسی روش های تکراری کُند بودن سرعت همگرایی آنهاست و برای بهبود سرعت همگرایی از راهکار پیش شرط سازی استفاده می شود. در این راستا، در رساله ی پیش̖ رو به بررسی مسائل نقطه زینی خواهیم پرداخت. بهبودی از یکی از روش های مهم و شناخته شده، موسوم به روش های اوزاوا برای حل صورت 2 × 2 مسائل نقطه زینی ارائه خواهیم داد. همگرایی این روش و رفتار پیش شرط ساز بدست آمده را مورد بررسی قرار می دهیم و راهبردی برای انتخاب پارامترهای آن ارائه خواهیم داد. در ادامه پیش شرط ساز جدیدی را برای رده ای از مسائل نقطه زینی 3 × 3 معرفی می کنیم. همچنین تخمینی از کران های بالا و پایین برای مقادیر ویژه ی ماتریس پیش شرط سازی شده ارائه می دهیم. با استفاده از چند مثال کاربردی نیز، کارایی پیش شرط سازهای مذکور را در سرعت بخشیدن به همگرایی روش های زیرفضای کرایلف، بخصوص روش GMRES پیش شرط سازی شده می آزماییم.