حسین حسین زاده

این رساله به پژوهش درباره روش های بدون شبکه و حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی از جمله معالات دیفرانسیل با مرتبه کسری توزیعی می پردازد. جدیدترین نسخه روش های بدون شبکه پتروف گالرکین محلی، روش 7MLPG، برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و وابسته به زمان توسعه داده مͬیشود. در نسخه سوم این روش ها، از جواب اساسی اصلاح شده معادله لاپلاس به عنوان تابع آزمون استفاده می شود. در نسخه جدید این روش، 7MLPG، یک تابع آزمون اصلاح شده معرفی میشود که علاوه بر خود این تابع آزمون، مشتق آن نیز در مرزهای محلی صفر می شود و به علاوه در مرکز نیز خاصیت جواب اساسی را دارد. این ویژگی ها باعث می شود که پس از اعمال قضیه گرین در فرم ضعیف محلی انتگرال روی مرز به یک انتگرال ساده روی دامنه محلی تبدیل شود. در نتیجه، علاوه بر سادەتر شدن محاسبات، فرم عددی پایدارتر می شود. تحلیل همگرایی و پایداری روش هم به صورت تئوری و هم به صورت عددی انجام شده است. همچنین نتایج حاصل از این روش با روش های دیگر نیز مقایسه شده که برتری روش جدید را نشان می دهد. در معادلات دیفرانسیل با مرتبه کسری توزیعی یک عبارت انتگرال روی مرتبه مشتق کسری ظاهر شده که باعث پیچیدگی بالای این معادلات می شود و لذا حل عددی این معادلات نیاز به دقت ویژەای دارد. استفاده از روش های مناسب گسسته سازی انتگرال، معادله دیفرانسیل کسری توزیعی را به یک معادله دیفرانسیل کسری با چندین مرتبه مشتق کسری تبدیل می کند. یک روش بدون شبکه محلی فرم قوی و همچنین روشی که در بالا بیان شد، برای گسستەسازی این معادلات به کار گرفته شده که نتایج عددی کارایی آنها را نشان داده است.