چکیده
در این مقاله سفتی تابعی و سفتی تابعک ضعیف به عنوان یک تقریب برای دوگان یک کاردینال
تحت توپولوژی همگرایی X پایدار فضای تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار روی تابعی مانند
نقطه وار معرفی شده است. هدف ما از این مقاله ارائه برهان دیگری برای اثبات مسئله اولگ
اوکانوز که در مورد سفتی تابعی روی فضای حاصل ضربی است، می باشد.