مجتبی صداقت جو

فرض کنید R یک حلقه و M یک R-R دو مدول باشد. R شبه-مورفیک چپ نامیده می شود هرگاه به ازای هر a∈R، عناصر b,c∈R موجود باشند به طوری کهl_R (a)=Rb و l_R (c)=Ra. همچنین R مورفیک چپ نامیده می شود اگر در تعریف فوق بتوان عناصر b و c را مساوی اختیار کرد. در این مقاله، شرایطی را بررسی می کنیم که توسیع بدیهی R⋉M از حلقه ی R توسط مدول M دارای خاصیت (شبه-)مورفیک می باشد. مثال هایی ارائه می دهیم که نشان می دهند خاصیت (شبه-)مورفیک از R⋉M به حلقه ی R و مدول M منتقل نمی شود و برعکس. لذا شرایط لازم و کافی متعددی را برای (شبه-)مورفیک بودن R⋉M بدست می آوریم. به عنوان مثال، نشان می دهیم خاصیت شبه-مورفیک چپ برای R⋉M نتیجه می دهد که M_R بخش پذیر باشد. علاوه بر این، ثابت می کنیم اگر R⋉M شبه-مورفیک چپ باشد و x∈M چنان موجود باشد که l_R (x)=0 یا 〖،r〗_R (x)=0 آن گاه (_R^ )M دوری است. بویژه، اگر R یک حلقه ی جابجایی باشد آن گاه M≃R و R نیز مورفیک است. علاوه بر این، در حالتی که M به عنوان R-مدول چپ (راست) آزاد باشد نیز (شبه-)مورفیک بودن R⋉M را بررسی می کنیم. نتیجتاً، قضیه ی زیر که ماحصل اصلی این مقاله است را بدست می آوریم: اگر R دامنه ی صحیح (نه لزوماً جابجایی) و (_R^ )M آزاد باشد آن گاه R⋉M (شبه-)مورفیک چپ است اگر و تنها اگر R حلقه ی بخشی و (_R^ )M≃(_R^ )R . به عنوان کاربردی از این قضیه، نتیجه ای که توسط لی و ژو و همچنین توسط وَن آن به همراه همکارانش، به ترتیب در سال های 2007 و 2016، ثابت شد، بدست می آید.