رضا شرف دینی

فرض کنید $G$ یک گراف همبند با مجموعه ی رئوس $V(G)=\{v_1,\ldots,v_n\}$ باشد. فاصله $d_G(u,v)$ بین رئوس $u$ و $v$ در گراف همبند $G$ برابر است با تعداد یال های یک مسیر کمینه که آن ها را به هم متصل می کند. انتقال رأس $v_i\in V(G)$، که با $\sigma_G(v_i)$ نشان داده می شود، به صورت مجموع فواصل بین $v_i$ و هر رأس دیگر در $G$ تعریف می شود، یعنی $\sigma_G(v_i)=\sum_{j=1}^n{{{d}_{G}}(v_i,v_j)}$. یک شاخص توپولوژیکی انتقال-پایه می شود که شامل انتقال های رئوس $G$ باشد. در این پایان نامه هدف ما این است که 1) انواع شاخص های توپولوژیکی انتقال-پایه را معرفی کنیم، 2) کران های پایین و بالا برای آن ها را مطالعه کنیم، 3) گراف های فرینه را به دست آوریم، 4) با مثال هایی نشان می دهیم که با استفاده از یک رویکرد نظریه ی گروهی، شاخص های توپولوژیکی انتقال-پایه را می توان به راحتی برای مجموعه خاصی از گراف های منتظم، راس متعددی، یال-متعددی محاسبه کرد، و 5) ما یک رویکرد طیفی برای برخی از این شاخص ها ارائه می دهیم. برای منظور ماتریس لاپلاسی تعمیم یافته ی {$L_{Tr}(G)$} را به صورت \[L_{Tr}(G)=\diag(\sigma_G(v_1),\cdots,\sigma_G(v_n))-A(G),\] تعریف می کنیم، به طوری که $A(G)$ ماتریس مجاورت $G$ است. سپس نشان می دهیم که $L_{Tr}(G)$ نیمه معین مثبت است. فرض کنید $\mu_1^{\prime},\cdots,\mu_n^{\prime}$ مقادیر ویژه ی $L_{Tr}(G)$ باشند. در این صورت انرژی ماتریس $L_{Tr}(G)$ را به صورت {$EL_{Tr}(G)=\sum_{i=1}^n\Big|\mu_i^{\prime} - \frac{2W(G)}{n}\Big|$} تعریف می کنیم و در نهایت کران هایی برای $EL_{Tr}(G)$ برحسب انرژی مجاورت گراف {$G$} و سایر شاخص های توپولوژیکی انتقال-پایه ی {$G$} مانند شاخص وینر و شاخص زاگرب انتقالی ارائه می دهیم.