طاهر یزدان پناه

تبدیل فوریه گسسته (T DF (بە عنوان یͺͬ از ابزارهای کلیدی در پردازش دادە های دیجیتال از قبیل فشردە سازی دادە ها، شناسایی فرکانس غالب و پردازش صوت وتصویر شناخته شده است. این پژوهش با هدف تحلیل نظری طیف ویژە ی تبدیل های فوریه گسسته و خانوادە های مرتبط با آن صورت گرفته و به دنبال معرفͬ پایە ی ویژە ی جدیدی است که کارایی این تبدیل ها را در پردازش سیͽنال بهبود بخشد. برای دست یابی به این هدف، یͷ سیستم تبدیل نوین و مؤثر ارائه شده است که پیوندی عمیق میان طیف ویژە ی T DF و طیف ویژە ی برخͬ از تبدیل های مثلثاتͬ گسسته نرمال شده متقارن (T DT (ایجاد مͬ کند. این تغییر رویͺرد، به مساله تحلیل طیف ویژە ی تبدیل های مثلثاتͬ گسسته نرمال شده منجر شد و از طریق آن، کلاسͬ از ماتریس های متقارن که ریشه دوم ماتریس همانͬ هستند و شامل تبدیل های مثلثاتͬ گسسته متقارن نرمال شده مͬ باشند، معرفͬ گردید. در نهایت با بهرە گیری از تکنیͷ های پیشرفته جبر خط،ͬ ساختار تئوری مشخصͬ برای استخراج بردارهای ویژه و همچنین تجزیه ویژه این کلاس ارائه گردیده است. یͺͬ از دیͽر از دستاوردهای برجستە ی این پژوهش، ارائە ی پایه ویژە ای است که به توابع هرمیت⁃ گاوسͬ همͽرا هستند؛ توابعͬ که نقشͬ کلیدی در تحلیل طیفͬ تبدیل فوریه پیوسته و کاربردهای متنوع در فیزیͷ و مهندسͬ برق ایفا مͬ کنند. هرچند نمونە برداری مستقیم از این توابع نمͬ تواند یͷ پایە ی متعامد کامل برای T DF ایجاد کند، این پژوهش با بە کارگیری روش های نوآورانه و طراحͬ دقیق، پایه ویژە ای برای تبدیل فوریه گسسته متمرکز شده (T CDF (معرفͬ کرده که ضمن برخورداری از سادگ،ͬ به طرز شͽفت انگیزی به توابع هرمیتͬ⁃گاوسͬ نزدیͷ هستند. نتایج تحقیق نشان مͬ دهد که بهرە گیری از پایە های ویژه T DT مͬ تواند تحلیل طیف ویژه T DF را بهبود داده و کاربردهای گستردە ای در حوزە های مختلف داشته باشد. در پایان، با ارائه پیشنهاداتͬ برای گسترش این پژوهش بر اهمیت بررسͬ ارتباط عمیق تر بین طیف ویژه تبدیلات گسسته مثلثاتͬ و سایر تبدیلات گسسته تأکید شده است