|
Abstract
|
ماتريس مجاورت $A(G)$ از گراف $G$ كه درايه هاي آن به صورت $a_{i j}=1$ اگر $v_i v_j \in E(G)$ و در غير اين صورت $0$ تعريف مي شود. فرض كنيد $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{n-1} \geqslant \lambda_n$ نشان دهنده ي مقادير ويژه ي $A(G)$ باشد. سپس $\lambda_1$ شعاع طيفي $G$ ناميده مي شود. وقتي بيش از يك گراف در نظر گرفته باشد، براي ساده سازي به جاي {$\lambda_i(G)$} از {$\lambda_i$} استفاده كرده ايم. انرژي مجاورت گراف $G$ به صورت زير تعريف مي شود
$$
\mathcal{E}(G)=\sum_{i=1}^n\left|\lambda_i\right|.
$$
فرض كنيد $G=(V,E)$ يك گراف ساده از مرتبه $n$ و اندازه {$m$} با مجموعه ي رئوس
\[V(G)=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\},\] باشد، بدون داشتن رئوس تنها و با دنباله درجات رأس $\Delta=d_{1}\geq d_{2}\geq \dots \geq d_{n}=\delta=0$، {$d_{i}=d_{G}(v_{i})$} اگر رئوس {$v_{i}$} و {$v_{j}$} مجاور باشند، اين مطلب را به صورت {$v_{i}v_{j}\in E(G)$} يا {$i\sim j$} نمايش مي دهيم. با {$TI$} يك شاخص توپولوژيك را نشان مي دهيم.
شاخصي كه مي تواند به صورت {$TI=TI(G)=\sum_{i\sim j}\mathcal{F}(d_{i},d_{j})$} نمايش داده شود، {$\mathcal{F}$} تابعي است كه به صورت مناسب با خصوصيت {$\mathcal{F}(x,y)=\mathcal{F}(y,x)$} انتخاب شده است.
ماتريس مجاورت تعميم يافته {$A=(a_{ij})$} از {$G$} به صورت {$a_{ij}=\mathcal{F}(d_{i}, d_{j})$} تعريف مي شود به طوري كه {$a_{ij}=1$} اگر رئوس {$v_{i}$} و $v_{j}$ مجاور باشند و در غير اين صورت
{$a_{ij}=0$}.
فرض كنيد {$f_{i}$}، {$i=1,2,3,... ,n$}، مقادير ويژه ي {$A$} باشند. انرژي ماتريس مجاورت تعميم يافته ي {$A$} به صورت {$\mathcal{E}_{TI}=\mathcal{E}_{TI}(G)=\sum_{i=1}^n |f_{i}|$} تعريف مي شود. در اين پايان نامه، ابتدا انرژي مجاورت گراف ها را مطالعه مي كنيم و كران هايي براي آن بر حسب پاياهاي گراف مانند تعداد رئوس، تعداد يال ها، حداكثر درجه و شاخص هاي زاگرب ارائه مي كنيم. سپس، كران هاي بالا و پايين از {$\mathcal{E}_{TI}$} به دست مي آيد.
با استفاده از رويكرد حاضر تعداد زيادي ازنتايج ايجاد شده قبلي را مي توان به عنوان موارد خاص به دست آورد.
|