|
Abstract
|
فرض كنيد $G$ يك گراف همبند با مجموعه ي رئوس $V(G)=\{v_1,\ldots,v_n\}$ باشد. فاصله $d_G(u,v)$ بين رئوس $u$ و $v$ در گراف همبند $G$ برابر است با تعداد يال هاي يك مسير كمينه كه آن ها را به هم متصل مي كند. انتقال رأس $v_i\in V(G)$، كه با $\sigma_G(v_i)$ نشان داده مي شود، به صورت مجموع فواصل بين $v_i$ و هر رأس ديگر در $G$ تعريف مي شود، يعني
$\sigma_G(v_i)=\sum_{j=1}^n{{{d}_{G}}(v_i,v_j)}$.
يك شاخص توپولوژيكي انتقال-پايه مي شود كه شامل انتقال هاي رئوس $G$ باشد.
در اين پايان نامه هدف ما اين است كه 1) انواع شاخص هاي توپولوژيكي انتقال-پايه را معرفي كنيم، 2) كران هاي پايين و بالا براي آن ها را مطالعه كنيم، 3) گراف هاي فرينه را به دست آوريم، 4) با مثال هايي نشان مي دهيم كه با استفاده از يك رويكرد نظريه ي گروهي، شاخص هاي توپولوژيكي انتقال-پايه را مي توان به راحتي براي مجموعه خاصي از گراف هاي منتظم، راس متعددي، يال-متعددي محاسبه كرد، و 5) ما يك رويكرد طيفي براي برخي از اين شاخص ها ارائه مي دهيم. براي منظور ماتريس لاپلاسي تعميم يافته ي {$L_{Tr}(G)$} را به صورت \[L_{Tr}(G)=\diag(\sigma_G(v_1),\cdots,\sigma_G(v_n))-A(G),\]
تعريف مي كنيم، به طوري كه $A(G)$ ماتريس مجاورت $G$ است. سپس نشان مي دهيم كه $L_{Tr}(G)$ نيمه معين مثبت است. فرض كنيد $\mu_1^{\prime},\cdots,\mu_n^{\prime}$ مقادير ويژه ي $L_{Tr}(G)$ باشند. در اين صورت انرژي ماتريس $L_{Tr}(G)$ را به صورت
{$EL_{Tr}(G)=\sum_{i=1}^n\Big|\mu_i^{\prime} - \frac{2W(G)}{n}\Big|$} تعريف مي كنيم و در نهايت كران هايي براي $EL_{Tr}(G)$ برحسب انرژي مجاورت گراف {$G$} و ساير شاخص هاي توپولوژيكي انتقال-پايه ي {$G$} مانند شاخص وينر و شاخص زاگرب انتقالي ارائه مي دهيم.
|